「問題」と「課題」似ているようで違います。 (違うととらえています）
まずは語源から
問題 ： 問いかけて答えさせる題。解答を要する問。等
課題 ： 課せられた題・問題。任務
（広辞苑、角川類語新辞典）
以下のようにも言えるのではないでしょうか。
問題 ： 解決策が不明である解決すべき事柄
課題 ： 解決策のある解決すべき事柄
問題は、まだ解決策、解決方法が見つかっていない状態です。
問われている状態ですね。
課題は、解決策や解決方法が見つかっている状態です。
さらに字義からして、課せられているような義務感の伴う状態です。
問題（２）で問題の語源に当たってみました。
加えて、問題と課題の違いを踏まえてみてはいかがでしょうか。
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